다이나믹 프로그래밍(동적 계획법)

다이나믹 프로그래밍: 중복되는 연산을 줄이자

어떤 문제는 메모리 공간을 약간 더 사용하면 연산 속도를 비약적으로 증가시킬 수 있는 방법이 있다. 대표적인 방법이 다이나믹 프로그래밍 기법이다.

다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 기법은 동적 계획법이라고 표현하기도 한다.

 

다이나믹 프로그래밍에 대해 알아보기 전에 기존의 알고리즘으로 해결하기 어려운 문제 중에서 다이나믹 프로그래밍으로 해결할 수 있는 문제를 살펴보자.

 

다이나믹 프로그래밍으로 해결할 수 있는 대표적인 예시로 피보나치 수열이 있다. 피보나치수열은 이전 두 항의 합을 현재의 항으로 설정하는 특징이 있는 수열이다. 피보나치수열은 다음과 같은 형태로 끝없이 이어진다.

수학자들은 점화식을 사용해 수열의 항이 이어지는 형태를 간결하게 표현한다. 점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미하는데, 예를 들어 수열 {a_n}이 있을 때 수열에서의 각 항을 a_n이라고 부른다고 가정하자. 우리는 점화식을

이용해 현재의 항을 이전의 항에 대한 식으로 표현할 수 있다.

 

결과적으로 앞서 언급했던 피보나치 수열에서는 첫 번째 항과 두 번째 항의 값이 모두 1이기 때문에 최종적으로 

피보나치수열을 나타낼 때에는 다음과 같이 정의할 수 있다.

이를 해석하면 다음과 같다.

• n번째 피보나치 수 = (n - 1)번째 피보나치 수 + (n - 2)번째 피보나치 수
• 단, 1번째 피보나치 수 = 1, 2번째 피보나치 수 = 2

수학적 점화식을 프로그래밍으로 표현하려면 재귀 함수를 사용하면 간단하다. 예시를 소스코드로 바꾸면 다음과 같다.

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 표현
def fibo(x):
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    return fibo(x-1) + fibo(x-2)

print(fibo(4))

 

그런데 피보나치 수열의 소스코드를 이렇게 작성하면 심각한 문제가 생길 수 있다. 바로 f(n) 함수에서 n이 커지면 

커질수록 수행 시간이 기하급수적으로 늘어나기 때문이다. 이 소스코드의 시간 복잡도는, 엄밀히 말하면 피보나치수열의 시간 복잡도는 일반적으로 빅오 표기법을 이용하여 O(N^2)의 지수 시간이 소요된다고 표현한다. 예를 들어 N = 30이면, 약 10억 가량의 연산을 수행해야 한다. f(6) 일 때의 호출 과정을 그림으로 그려 확인해보자.

그림을 보면 동일한 함수가 반복적으로 호출되는 것을 할 수 있다. 이미 한 번 계산했지만, 계속 호출할 때마다 계산하는 것이다. 그림에서 f(3)은 총 3번 호출되었다. 즉, f(n)에서 n이 커지면 커질수록 반복해서 호출하는 수가 많아진다. 만약 f(100)을 계산하려면 연산 횟수는 약 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000번이다. 아마 현대의 2진수 처리 방식을 가진 컴퓨터 구조에 기반한 시스템에서 연산을 수행했을 때 우리의 수명이 다할 때까지 연산을 진행해도 답을 도출할 수 없을 것이다. 

 

이처럼 피보나치 수열의 점화식을 재귀 함수를 사용해 만들 수는 있지만, 단순히 매번 계산하도록 하면 문제를

효율적으로 계산할 수 없다. 이러한 문제는 다이나믹 프로그래밍을 사용하면 효율적으로 해결할 수 있다. 다만 항상

다이나믹 프로그래밍을 사용할 수는 없으며, 다음 조건을 만족할 때 사용할 수 있다.

1. 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
2. 작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 동일하다.

피보나치수열은 이러한 조건을 만족하는 대표 문제이다. 이 문제를 메모이제이션(Memoizition)기법을 사용해서 해결해보자. 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 한 종류로, 한 번 구한 결과를 메모리 공간에 메모해두고 같은 식을 다시 호출하면 메모한 결과를 그대로 가져오는 기법을 의미한다. 메모이제이션은 값을 저장하는 방법이므로 캐싱(Caching)이라고도 한다.

 

그렇다면 실제로 메모이제이션은 어떻게 구현될 수 있을까? 단순하다. 한 번 구한 정보를 리스트에 저장하는 것이다. 다이나믹 프로그래밍을 재귀적으로 수행하다가 같은 정보가 필요할 때는 이미 구한 정답을 그대로 리스트에서 가져오면 된다. 이를 소스코드로 나타내면 다음과 같다.

# 한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100

# 피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현(탑다운 다이나믹 프로그래밍)


def fibo(x):
    # 종료 조건(1 혹은 2일때 1을 반환)
    if x == 1 or x == 2:
        return 1
    # 이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
    if d[x] != 0:
        return d[x]
    # 아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
    d[x] = fibo(x - 1) + fibo(x - 2)
    return d[x]


print(fibo(99))

 

정리하자면 다이나믹 프로그래밍이란 큰 문제를 작게 나누고, 같은 문제라면 한 번씩만 풀어 문제를 효율적으로 

해결하는 알고리즘이다. 다이나믹 프로그래밍은 한 번 해결했던 문제를 다시금 해결한다는 점이 특징이다. 그렇기 

때문에 이미 해결된 부분 문제에 대한 정답을 저장해 놓고, 이 문제는 이미 해결이 됐던 것이니까 다시 해결할 필요가 

없다고 반환하는 것이다. 

f(6) 해법을 다시 메모이제이션 기법을 이용하여 그려보면 6번째 피보나치 수를 호출할 때는 다음 그림처럼 색칠된 노드만 방문하게 된다.

그렇다면 다이나믹 프로그래밍을 적용했을 때의 피보나치 수열 알고리즘의 시간 복잡도는 어떻게 될까? 바로 O(N)이다. 왜냐하면 f(1)을 구한 다음 그 값이 f(2)를 푸는 데 사용되고, f(2)의 값이 f(3)를 푸는 데 사용되는 방식으로 이어지기 때문이다. 한 번 구한 결과는 다시 구해지지 않는다.

 

위의 코드처럼 재귀 함수를 이용하여 다이나믹 프로그래밍 소스코드를 작성하는 방법을, 큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출한다고 하여 탑다운(Top-Down) 방식이라고 말한다. 반면에 단순히 반복문을 이용하여 소스코드를 작성하는 경우 작은 문제부터 차근차근 답을 도출한다고 하여 보텀업(Bottom-Up) 방식이라고 말한다. 피보나치수열 문제를 아래에서 위로 올라가는 보텀업 방식으로 풀면 다음과 같다. 동일한 원리를 적용하되 단순히 반복문을 이용하여 문제를 해결한 것으로 이해하면 된다.

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1
d[1] = 1
d[2] = 2
n = 99
# 피보나치 함수(Finonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n+1):
    d[i] = d[i-1] + d[i-2]

print(d[n])

 

탑다운(메모이제이션)방식은 '하향식'이라고도 하며, 보텀업 방식은 '상향식'이라고도 한다. 다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식이다. 보텀업 방식에서 사용되는 결과 저장용 리스트는 'DP 테이블'이라고 부르며, 

메모이제이션은 탑다운 방식에 국한되어 사용되는 표현이다. 다이나믹 프로그래밍과 메모이제이션의 개념을 혼용해서 사용하는 경우도 있는데, 엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 넓은 개념을 

의미하므로, 다이나믹 프로그래밍과는 별도의 개념이다. 한 번 계산된 결과를 어딘가에 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다.

 

코딩 테스트에서의 다이나믹 프로그래밍 문제는 대체로 간단한 형태로 출제되므로, 이 책에서 다루는 문제 정도만 바르게 습득해도 코딩 테스트에서 다이나믹 프로그래밍 문제를 풀기에는 큰 어려움이 없을 것이다.

 

문제를 푸는 첫 번째 단계는 (당연하게 들리겠지만) 주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이다.

특정한 문제를 완전 탐색 알고리즘으로 접근했을 때 시간이 매우 오래 걸리면 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있는지 해결하고자 하는 부분 문제들의 중복 여부를 확인해보자.

 

가능하다면 재귀 함수를 이용하는 탑다운 방식보다는 보텀업 방식으로 구현하는 것을 권장한다. 시스템상 재귀 함수의 스택 크기가 한정되어 있을 수 있기 때문이다. 실제로 앞에서 제시한 재귀적인 피보나치수열의 소스코드에서 오천 번째 이상의 큰 피보나치 수를 구하도록 하면 'recursion depth(재귀 함수 깊이)'와 관련된 오류가 발생할 수 있다. 이 경우 sys 라이브러리에 포함되어 있는 setrecursionlimit() 함수를 호출하여 재귀 제한을 완화할 수 있다는 점 정도만 기억하자.

 

실전문제

1. 1로 만들기 (책 p.217)

import sys

input = sys.stdin.readline

# 정수 X를 입력받기
X = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001

# 다이나믹 프로그래밍 (Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
for i in range(2, x + 1):
    # 현재의 수에서 1을 빼는 경우
    d[i] = d[i-1] + 1
    # 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 2 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i // 2] + 1)
    # 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 3 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i//3] + 1)
    # 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
    if i % 5 == 0:
        d[i] = min(d[i], d[i//5] + 1)

print(d[X])

 

2. 개미 전사 (책 p.220)

import sys
# 정수 N을 입력받기
N = int(sys.stdin.readline().rstrip())
# 모든 식량 정보 입력받기
array = list(map(int, sys.stdin.readline().split()))

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100

# 다이나믹 프로그래밍 진행(보텁업)
d[0] = array[0]
d[1] = max(array[0], array[1])
for i in range(2, N):
    d[i] = max(d[i-1], d[i-2] + array[i])

# 계산된 결과 출력
print(d[N-1])

 

3. 바닥 공사 (책 p.223)

# 정수 N을 입력받기
n = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 1001

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
d[1] = 1
d[2] = 3
for i in range(3, n+1):
    d[i] = (d[i-1] + 2 * d[i-2]) % 796796

# 계산된 결과 출력
print(d[n])

 

4. 효율적인 화폐 구성 (책 p.226)

# 정수 N, M을 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# N개의 화폐 단위 정보를 입력받기
array = []
for i in range(n):
    array.append(int(input()))


# 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m+1)

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(보텀업)
d[0] = 0
for i in range(n):
    for j in range(array[i], m+1):
        if d[j - array[i]] != 10001:  # (i - k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
            d[j] = min(d[j], d[j - array[i]] + 1)

# 계산된 결과 출력
if d[m] == 10001:  # 최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
    print(-1)
else:
    print(d[m])